Interpolación de Lagrange

Este método nos sirve para construir un polinomio interpolante de grado n. Un polinomio interpolante se utiliza para encontrar un polinomio que pase por todos los puntos de un conjunto de datos (muestra). La respuesta aplicada en un problema, solo tiene una solución, ya que al tenerse otra, se debería sacar la difenrecia de éstas dos, dando un polinómio de grado k + 1.

Fórmula:

La siguiente fórmula es la que nos proporciona Wikipedia.

 

 Pero si se nos hace un poco confusa como a mí podemos sustituirla en la siguiente donde, Xn, será nuestro valor en x (nuestro puntos) y Fn nuestra interpolación.

Ejemplo propuesto:

Las densidades de sodio para tres temperaturas son dadas a continuación

i   Temperatura     Densidad
0   94°C               929kg/m3
1   205                 902
2   371                 860
       x                     y

1) Escribir la formula de la interpolación de Lagrange a los tres puntos dados.
2) Encontrar la densidad para x = 251°C con interpolación de Lagrange

Emplearemos la formula proporcionada donde sustituiremos:
n = 2 + 1 = 3 //Nos sirve para saber hasta cuantos Xn se harán a sustituir en la fórmula
x1 = 94°C
x2 = 205°C
x3 = 317°C
f(x0) = 929 kg/m3
f(x1) = 902 kg/m3
f(x2) = 860 kg/m3

A continuación les dejo una captura de pantalla de como se resuelve el problema, lo único que se hace es sustituir, lo valores por los de la fórmula:

En el problema de la pregunta 1, como se mencionó se sustituye en la fórmula planteada, obteniendo el polinomio y  en la pregunta 2, una vez que se obtiene la ecuación sustituimos 251 en x, para así obtener la densidad.

Otras aplicaciones:
La interpolación polinómica de Lagrage, también puede ser empleada en proyectores ortogolanes

Uno de los posibles problemas al implementar ésto, al momento de agregarle más números o puntos a interpolar, crece el tiempo y la complejidad de su resultado.

Link:

http://es.wikipedia.org/wiki/Interpolaci%C3%B3n_polin%C3%B3mica
http://es.wikipedia.org/wiki/Interpolaci%C3%B3n_polin%C3%B3mica_de_Lagrange