Sistemas Caóticos: Triangulo de Sierpinski

Intro
Un sistema caótico es un sistema donde va evolucionando con el tiempo, donde sus valores iniciales son muy sensibles a las variaciones que puedan existir.


Aplicaciones:
Una de las aplicaciónes donde podemos incluir esto es principalmente en la ciencia y tecnología ya aplicamos este modelo a sistemas donde son completamente dinámicos, algunos ejemplos a mencionar sobre la aplicación es la simulación de un relieve, simulación de temperatura en determinada población, el comportamiento de las olas/aire, el comportamiento de agentes (como la simulación del tráfico en una población).


Rollo:
Metiendo un poco de rollo podríamos decir que una de las formulas que aporto mucho a esta área es el teorema del lorenz donde busco simular el flujo de fluidos y que ademas este teorema se utiliza para otros estudios, este teorema podemos mencionar que dice que toda acción conlleva a una reacción y este en alguna forma regresa en el ciclo, pero no como originalmente inicio.


Fractales:
Un fractal es objeto semigeométrico cuya estructura básica se va itinerando varias veces en diferentes escalas.
Importancia
La importancia de los fratales en la teoria del caos, es que en los casos, se puede observar como evolucionan dinamicamente estos sistemas a unos mas complejos.

Wikipedia define la dinamica de los fractales como:
 la dinamica en los fractales consta de ciclos (en los que partiendo de una realidad establecida simple acaban en la creación de una nueva realidad más compleja) que a su vez forman parte de ciclos más complejos los cuales forman parte del desarrollo de la dinámica de otro gran ciclo. Las evoluciones dinámicas de todos estos ciclos presentan las similitudes propias de los sistemas caóticos.

Chaos Game
El juego del caos es ir dibujaando puntos de forma aleatoria o que dependiendo de estos se escoja unaa formula donde va determinado punto, de tal forma que dicha sucesión de puntos en el límite nos va a dar una fractal conocido.

Fractal Sierpinski
Es un fractal donde se  basa en un triangulo y este se va itinerando para crear otros triangulos dentro de este.


Tarea:
Para la tarea lo que busque hacer es hacer el trángulo de sierpinski con juego de caos, donde dependiendo de un numero aleatorio dado, será el lugar donde se dibujará un punto, dependiendo de la formula elegida.

Formula:
Las formulas las podemos encontrar como las siguientes, donde aveces sus puntos pueden variar un poco por la posicion o crear otro tipo de fractal.

Donde podemos tomar como la primera-primera, segunda-segunda, tercera-tercera, opcion a escoger de un numero aleatorio de 1 a 3 para que nos vaya generando el triangulo, hay que tomar en cuenta que el volvemos hacer la recursión del valor anterior al sumarlo al actual, teniendo asi los valores dinámicos, pero que van siguiendo una secuencia.

Código:

import math, random

x = 0
y = 0

for i in range(3000):
    r = random.randint(0, 3)
    if r==0:
        x = 0.5*x
        y = 0.5*y
    if r==1:
        x = 0.5*x + 0.25
        y = 0.5*y + 0.5*(math.sqrt(3)/2)
    if r==2:
        x = 0.5*x + 0.5
        y = 0.5*y

    print str(x)+ ", " +str(y)

Resultado:
El resultado como podemos ver tenemos un traingulo de Sierpinski con 3000 iteraciones, nosotros podemos ir aumentando las iteraciones y nuestro resultado sera mucho mas puntitos, dando como resultado un mejor triangulo.

Con 5000 iteraciones

con 10000 iteraciones

Jugando un poco:

Nosotros, podemos jugar un poco con la formula y tendremos diferentes resultados e incluso agregar otros parametros, para crear diferentes tipos de fractales.

Bibliografia:
http://www.telefonica.net/web2/imix/Fractales/frac/caos/node4.html
http://www.dma.fi.upm.es/java/geometriafractal/clasicos-I/caos.html
http://www.geofisica.cl/english/pics5/FUM3.htm
http://en.wikipedia.org/wiki/Sierpinski_triangle
http://en.wikipedia.org/wiki/Chaos_game
http://cosmology.kaist.ac.kr/pm1/talks_10/20090587%20Yoo%20Hyun%20Soo%20-%20Talk.pdf